Exercice 6, § 1

Soient A un anneau et $e$ un élément idempotent de A.

a) Soient $\mathfrak{a}_1$ un idéal à gauche de l’anneau $eAe$ et $\mathfrak{a}$ l’idéal à gauche de A engendré par $\mathfrak{a}_1$. On a $\mathfrak{a}_1=e\mathfrak{a}e=\mathfrak{a}\cap eAe$.

b) Pour tout idéal à gauche $\mathfrak{a}$ de A, on a $\mathfrak{a}\cap eAe\subset e\mathfrak{a}e$; donner un exemple où cette inclusion est stricte (prendre pour A un anneau de matrices).

c) On a $\mathfrak{a}\cap eAe=e\mathfrak{a}e$ pour tout idéal bilatère $\mathfrak{a}$ de A.

d) Si l’anneau A est artinien (resp. noethérien) à gauche, il en est de même des anneaux $eAe$ et $(1-e)A(1-e)$.

e) Donner un exemple où $eAe$ et $(1-e)A(1-e)$ sont des corps commutatifs et où il existe dans A des suites infinies strictement croissantes et des suites infinies strictement décroissantes d’idéaux bilatères. (On pourra choisir un espace vectoriel V de dimension infinie sur un corps commutatif K, munir le groupe additif $A = K\times V\times K$ de la structure d’anneau définie par $(\lambda , x, \mu )(\lambda ', x', \mu ') = (\lambda \lambda ', \lambda x'+\mu 'x, \mu \mu ')$ et poser $e= (1,0,0).$)