Bài tập 7, § 1

a) Cho A là một vành và $\mathscr{I}$ là tập hợp các iđêan trái của A có dạng $Ae$, trong đó $e$ là một phần tử lũy đẳng trong A. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Mọi tập con khác rỗng của $\mathscr{I}$ đều có một phần tử cực tiểu.

(ii) Mọi tập con khác rỗng của $\mathscr{I}$ đều có một phần tử cực đại.

(iii) Không có họ vô hạn các iđêan khác không thuộc $\mathscr{I}$ có tổng là trực tiếp.

(iv) Không có họ vô hạn $(e_i)$ các phần tử lũy đẳng khác không trong A sao cho $e_ie_j= 0$ với $i\not=j$.

b) Cho một ví dụ về một vành A trong đó mọi tập hợp khác rỗng các iđêan trái đơn sinh đều có một phần tử cực đại và một phần tử cực tiểu (sao cho các điều kiện tương đương của a) được thỏa mãn), mặc dù A không phải là Artin trái cũng không phải là Noether trái (dùng Bài tập 3).

c) Cho M là một môđun. Nếu mọi tập hợp khác rỗng các môđun con sinh hữu hạn của M đều có một phần tử cực đại, thì M là Noether.

d) Cho một ví dụ về một môđun không Artin trong đó mọi tập hợp khác rỗng các môđun con sinh hữu hạn đều có một phần tử cực tiểu.