Exercice 7, § 1

a) Soient A un anneau et $\mathscr{I}$ l’ensemble des idéaux à gauche de A de la forme $Ae$, où $e$ est un élément idempotent de A. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Toute partie non vide de $\mathscr{I}$ possède un élément minimal ;

(ii) Toute partie non vide de $\mathscr{I}$ possède un élément maximal ;

(iii) Il n’existe pas de famille infinie d’idéaux non nuls appartenant à $\mathscr{I}$ dont la somme soit directe ;

(iv) Il n’existe pas de famille infinie $(e_i)$ d’éléments idempotents non nuls de A telle que $e_ie_j= 0$ pour $i\not=j$.

b) Donner un exemple d’anneau A dans lequel tout ensemble non vide d’idéaux à gauche monogènes possède un élément maximal et un élément minimal (de sorte que les conditions de a) sont satisfaites), bien que A ne soit ni artinien ni noethérien à gauche (utiliser l’exerc. 3).

c) Soit M un module. Si tout ensemble non vide de sous-modules de type fini de M possède un élément maximal, M est noethérien.

d) Donner un exemple de module non artinien dans lequel tout ensemble non vide de sous-modules de type fini possède un élément minimal.