Bài tập 10, § 10

Đối với một vành A, ký hiệu tập hợp các giả-vành con của A mà mọi phần tử đều lũy linh bởi $\mathscr{N}(A)$ và tập hợp các phần tử cực đại của $\mathscr{N}(A)$ bởi $\mathscr{N}_{max}(A)$.

a) Cho D là một trường và $n$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $\mathscr{N}_{max}(\mathbf{M}_n(D))$ gồm các giả vành $gTg^{-1}$, trong đó $g$ là một phần tử khả nghịch của $\mathbf{M}_n(D)$ và T là tập hợp các ma trận $(a_{ij})\in \mathbf{M}_n(D)$ sao cho $a_{ij}= 0$ với $i\geqslant j$ (dùng Bài tập 2 của VIII, p. 14). b) Cho A là một vành Artin và $\pi : A\rightarrow A/\mathfrak{R}(A)$ là ánh xạ chính tắc. Hãy chứng tỏ rằng ánh xạ $P\mapsto \pi (P)$ xác định một song ánh từ $\mathscr{N}_{max}(A)$ lên $\mathscr{N}_{max}(A/\mathfrak{R}(A))$. Suy ra từ a) rằng giao của các phần tử của $\mathscr{N}_{max}(A)$ bằng $\mathfrak{R}(A)$ và hai phần tử tùy ý của $\mathscr{N}_{max}(A)$ được biến đổi thành nhau bởi một tự đẳng cấu trong của A.