Exercice 10, § 10

Pour tout anneau A, on note $\mathscr{N}(A)$ l’ensemble des sous-pseudo-anneaux de A dont tous les éléments sont nilpotents et $\mathscr{N}_{max}(A)$ l’ensemble des éléments maximaux de $\mathscr{N}(A)$.

a) Soient D un corps et $n$ un entier. Démontrer que $\mathscr{N}_{max}(\mathbf{M}_n(D))$ est formé des pseudo-anneaux $gTg^{-1}$, où $g$ est un élément inversible de $\mathbf{M}_n(D)$ et T l’ensemble des matrices $(a_{ij})\in \mathbf{M}_n(D)$ telles que $a_{ij}= 0$ pour $i\geqslant j$ (utiliser l’exerc. 2 de VIII, p. 13).

b) Soit A un anneau artinien, $\pi : A\rightarrow A/\mathfrak{R}(A)$ l’application canonique. Montrer que l’application $P\rightarrow \pi (P)$ définit une bijection de $\mathscr{N}_{max}(A)$ sur $\mathscr{N}_{max}(A/\mathfrak{R}(A))$. Déduire de a) que l’intersection des éléments de $\mathscr{N}_{max}(A)$ est égale à $\mathfrak{R}$(A), et que deux éléments quelconques de $\mathscr{N}_{max}(A)$ sont transformés l’un de l’autre par un automorphisme intérieur de A.