Bài tập 4, § 10

Một vành A được gọi là giả chính quy nếu với mọi phần tử $a$ của A, tồn tại một số nguyên $n$ và một phần tử $x$ của A sao cho $a^nxa^n=a^n$. Một vành phẳng tuyệt đối (VIII, p. 171, Bài tập 27) là giả chính quy.

a) Chứng minh rằng một vành giả chính quy là một vành Zorn (VIII, p. 171, Bài tập 26) trong đó mọi phần tử không khả nghịch đều là một ước của không trái và phải.

b) Chứng minh rằng mọi vành thương của một vành giả chính quy đều là giả chính quy (xem VIII, p. 171, Bài tập 27, d)).

c) Chứng minh rằng tâm Z của một vành giả chính quy A là giả chính quy (chứng minh rằng nếu $a\in Z$ và $x\in A$ thỏa mãn $a^nxa^n=a^n$, thì $a^{2n}x^k$ thuộc Z với mọi $k\geqslant 1$).

d) Cho $p$ là một số nguyên tố, $U_p$ là thành phần nguyên sơ theo $p$ của nhóm $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$, và A là đại số (giao hoán) của nhóm $U_p$ trên trường $\mathbf{F}_p$. Chứng minh rằng vành A là giả chính quy nhưng $A^{\mathbf{N}}$ thì không.