Exercice 4, § 10

On dit qu’un anneau A est pseudo-régulier si pour tout élément $a$ de A il existe un entier $n$ et un élément $x$ de A tel que $a^nxa^n=a^n$. Un anneau absolument plat (VIII, p. 166, exerc. 27) est pseudo-régulier.

a) Démontrer qu’un anneau pseudo-régulier est un anneau de Zorn (VIII, p. 166, exerc. 26), dans lequel tout élément non inversible est diviseur de 0 à gauche et à droite.

b) Prouver que tout anneau quotient d’un anneau pseudo-régulier est pseudo-régulier (cf. VIII, p. 166, exerc. 27 d)).

c) Démontrer que le centre Z d’un anneau pseudo-régulier A est pseudo-régulier (si $a\in Z$ et $x\in A$ vérifient $a^nxa^n=a^n$, prouver que $a^{2n}x^k$ appartient à Z pour tout $k\geqslant 1$).

d) Soient $p$ un nombre premier, $U_p$ le composant $p$-primaire du groupe $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}, A$ l’algèbre (commutative) du groupe $U_p$ sur le corps $\mathbf{F}_p$. Prouver que l’anneau A est pseudo-régulier, mais qu’il n’en est pas de même de $A^{\mathbf{N}}$.