Bài tập 5, § 10

Cho $n$ là một số nguyên. Một vành A được gọi là $n$-chính quy nếu với mọi phần tử $a$ của A, tồn tại một $x\in A$ sao cho $xa^{n+1}=a^n$.

a) Giả sử rằng A là $n$-chính quy. Chứng minh rằng ta có $r^n= 0$ với mọi phần tử $r$ của $\mathfrak{R}(A)$.

b) Chứng minh rằng một vành nguyên thủy $n$-chính quy đẳng cấu với một vành ma trận $\mathbf{M}_r(D)$ trên một trường, với $r\leqslant n$. (Hãy nhận thấy rằng nếu V là một không gian vectơ trên D có chiều $> n$ và $e$ là một vectơ khác không của V, thì mọi vành con trù mật của End$_D(V)$ đều chứa một phần tử $u$ sao cho $u^n(e)\not= 0$ và $u^{n+1}(e) = 0.$)

c) Chứng minh rằng một vành $n$-chính quy là một vành Zorn (VIII, p. 171, Bài tập 26). (Trước hết, nhận thấy rằng quan hệ $xa^{n+1}=a^n$ kéo theo $x^na^{2n}=a^n$. Dùng b), Bài tập 12, a) của VIII, p. 168 và Mệnh đề 2 của VIII, p. 27, suy ra rằng ta có $a^nx^na^n-a^n\in$ $\mathfrak{R}(A)$. Cuối cùng, dùng Bổ đề 1 của VIII, p. 159, chứng minh rằng nếu hai phần tử $y$ và $z$ của A thỏa mãn $y=zy^2$ và $yzy-y\in \mathfrak{R}$(A), thì tồn tại một $t\in A$ sao cho $y=ty^2$ và $(ty)^2=ty.)$ Hơn nữa, nếu vành A không có căn, thì nó là giả chính quy (Bài tập 4).

d) Cho A là một vành không có phần tử lũy linh nào khác 0. Khi đó A là $n$-chính quy nếu và chỉ nếu nó phẳng tuyệt đối.

(Nếu A là phẳng tuyệt đối, dùng Bài tập 27, b) của VIII, p. 171. Nếu A là chính quy bậc $n$, trước hết hãy nhận thấy, với ký hiệu ở trên, rằng $e=x^na^n$ là lũy đẳng, do đó là trung tâm (Bài tập 30, a) của VIII, p. 172), và rằng ta có $ea=a$, nên A là chính quy bậc 1. Sau đó dùng các câu hỏi a) và b) để chứng minh rằng A đẳng cấu với một vành con của một tích các trường và suy ra rằng quan hệ $xa^{n+1}=a^n$ kéo theo $axa=a.)$