Exercice 5, § 10

Soit $n$ un entier. On dit qu’un anneau A est $n$-régulier si pour tout élément $a$ de A, il existe $x\in A$ tel que $xa^{n+1}=a^n$.

a) Démontrer qu’on a alors $r^n= 0$ pour tout élément $r$ de $\mathfrak{R}(A)$.

b) Démontrer qu’un anneau primitif $n$-régulier est isomorphe à un anneau de matrices $\mathbf{M}_r(D)$ sur un corps, avec $r\leqslant n$ (observer que si V est un D-espace vectoriel de dimension $> n$ et $e$ un vecteur non nul de V, tout sous-anneau dense de End$_D(V)$ contient un élément $u$ tel que $u^n(e)\not= 0,u^{n+1}(e) = 0$).

c) Démontrer qu’un anneau $n$-régulier est un anneau de Zorn (VIII, p. 166, exerc. 26; remarquer d’abord que la relation $xa^{n+1}=a^n$ entraîne $x^na^{2n}=a^n$; à l’aide de b), de l’exerc. 12, a) de VIII, p. 163, et de la prop. 2 de VIII, p. 25, en déduire $a^nx^na^n-a^n\in \mathfrak{R}(A)$. Enfin, en utilisant le lemme 1 de VIII, p. 155, démontrer que si deux éléments $x, y$ de A vérifient $y=zy^2$ et $yzy-y\in \mathfrak{R}$(A), il existe $t\in A$ tel que $y=ty^2$ et $(ty)^2=ty)$. Si en outre l’anneau A est sans radical, il est pseudo-régulier (exerc. 4).

d) Soit A un anneau sans élément nilpotent autre que 0. Pour que A soit $n$-régulier, il faut et il suffit qu’il soit absolument plat.

(Si A est absolument plat, utiliser l’exerc. 27, b) de VIII, p. 166. Si A est $n$-régulier, observer d’abord, avec les notations précédentes, que $e=x^na^n$ est idempotent, donc central (exerc. 30, a) de VIII, p. 167), et qu’on a $ea=a$, de sorte que A est 1-régulier. Démontrer ensuite à l’aide de a) et b) que A est isomorphe à un sous-anneau d’un produit de corps et en déduire que la relation $xa^{n+1}=a^n$ implique $axa=a)$.