Bài tập 7, § 10

Cho A là một vành Artin, $\mathfrak{r}$ là căn của nó, và $\overline{A}$ là vành $A/\mathfrak{r}$. Cho $\mathfrak{l}$ là một iđêan trái không phân tích được không lũy linh; ta có $\mathfrak{l}= Ae$, trong đó $e$ là một phần tử lũy đẳng trong A.

a) Chứng minh rằng iđêan $\mathfrak{n}=\mathfrak{l}\cap \mathfrak{r}$ là môđun con cực đại duy nhất của $\mathfrak{l}$. A-môđun $\mathfrak{l}/\mathfrak{n}$ là đơn và đẳng cấu với $A\overline{e}$, trong đó $\overline{e}$ là ảnh của $e$ trong A.

b) Cho M là một A-môđun. Khi đó $(Ae)M$ là một môđun con của M, và $e((Ae)M)=eM$ là một $eAe$-môđun. Nếu N là một A-môđun con của M, thì các $eAe$-môđun $e(M/N)$ và $eM/eN$ là đẳng cấu. Nếu A-môđun M là đơn, thì hoặc là $eM = 0$, hoặc M đẳng cấu với $A\overline{e}$ và $eM$ là một $eAe$-môđun đơn.

c) Chứng minh rằng độ dài của $eAe$-môđun $eM$ bằng số các thương của một chuỗi Jordan–Hölder của A-môđun M đẳng cấu với $A\overline{e}$.

d) Giả sử rằng M có độ dài hữu hạn và có một môđun con cực đại duy nhất N, và rằng $M/N$ đẳng cấu với $\mathfrak{l}/\mathfrak{n}$. Chứng minh rằng M đẳng cấu với một thương của $Ae$ (hãy lưu ý rằng một phần tử $x$ của $eM$ không thuộc N sinh ra M).