Exercice 7, § 10

Soient A un anneau artinien, $\mathfrak{r}$ son radical, $\overline{A}$ l’anneau $A/\mathfrak{r}$. Soit $\mathfrak{l}$ un idéal à gauche non nilpotent et indécomposable ; on a $\mathfrak{l}= Ae$, où $e$ est un élément idempotent de A.

a) Démontrer que l’idéal $\mathfrak{n}=\mathfrak{l}\cap \mathfrak{r}$ est l’unique sous-module maximal de $\mathfrak{l}$. Le A-module $\mathfrak{l}/\mathfrak{n}$ est simple et isomorphe à $A\overline{e}$, où $\overline{e}$ est l’image de $e$ dans A.

b) Soit M un A-module. Alors $(Ae)M$ est un sous-module de M et $e((Ae)M)=eM$ est un $eAe$-module ; si N est un sous-A-module de M, les $eAe$-modules $e(M/N)$ et $eM/eN$ sont isomorphes. Si le A-module M est simple, ou bien l’on a $eM = 0$, ou bien M est isomorphe à $A\overline{e}$ et $eM$ est un $eAe$-module simple.

c) Démontrer que la longueur du $eAe$-module $eM$ est égale au nombre des quotients d’une suite de Jordan-Hölder du A-module M isomorphes à $A\overline{e}$.

d) On suppose que M est de longueur finie et admet un unique sous-module maximal N, et que $M/N$ est isomorphe à $\mathfrak{l}/\mathfrak{n}$. Démontrer que M est isomorphe à un module quotient de $Ae$ (observer qu’un élément $x$ de $eM$ qui n’appartient pas à N engendre M).