Bài tập 9, § 10

Cho A là một vành Artin có căn $\mathfrak{r}$ được chứa trong tâm.

a) Chứng minh rằng mọi phần tử lũy đẳng trung tâm trong $A/\mathfrak{r}$ đều nâng thành một phần tử lũy đẳng trung tâm trong A (nếu $e$ là một phần tử lũy đẳng trong A mà lớp của nó trong $A/\mathfrak{r}$ là trung tâm, hãy biểu thị sự kiện rằng $e$ giao hoán với $xe-ex$ với mọi $x\in A$).

b) Nếu $\mathfrak{r}$ khác không, chứng minh rằng $A/\mathfrak{r}$ là giao hoán (hãy nhận xét rằng ta có quan hệ $(xy-yx)z= 0$ với $x\in A,y\in A$, và $z\in \mathfrak{r}$).

c) Suy ra từ a) và b) rằng A đẳng cấu với tích của một vành nửa đơn và một họ hữu hạn các vành địa phương $A_i$ sao cho trường $A_i/\mathfrak{R}(A_i)$ là giao hoán. d) Chứng minh rằng mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với một iđêan trái tối tiểu của A.