Exercice 9, § 10

Soit A un anneau artinien dont le radical $\mathfrak{r}$ est contenu dans le centre.

a) Prouver que tout idempotent central de $A/\mathfrak{r}$ se relève en un idempotent central de A (si $e$ est un idempotent de A dont la classe dans $A/\mathfrak{r}$ est centrale, exprimer que $e$ commute avec $xe-ex$ pour tout $x\in A$).

b) Si $\mathfrak{r}$ n’est pas nul, prouver que $A/\mathfrak{r}$ est commutatif (remarquer qu’on a la relation $(xy-yx)z= 0$ pour $x\in A,y\in A,z\in \mathfrak{r}$).

c) Déduire de a) et b) que A est isomorphe au produit d’un anneau semi-simple et d’une famille finie d’anneaux locaux $A_i$ tels que le corps $A_i/\mathfrak{R}(A_i)$ soit commutatif.

d) Démontrer que tout A-module simple est isomorphe à un idéal à gauche minimal de A.