Bài tập 1, § 11

Cho $p$ là một số nguyên tố. Ký hiệu bởi $\mathscr{C}$ tập hợp các lớp của các $\mathbf{Z}$-môđun có dạng $(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^n\oplus (\mathbf{Z}/p^3\mathbf{Z})^m$ với $n, m\in \mathbf{N}$.

a) Chứng minh rằng $\mathscr{C}$ là cộng tính nhưng không di truyền. Tập hợp di truyền nhỏ nhất $\mathscr{H}$ chứa $\mathscr{C}$ là gì?

b) Chứng minh rằng mọi dãy khớp ngắn của các môđun kiểu $\mathscr{C}$ đều tách. Mô tả nhóm $K(\mathscr{C})$.

c) Xây dựng một dãy khớp

gồm các môđun kiểu $\mathscr{C}$ sao cho các lớp của $M_0\oplus M_2\oplus M_4$ và $M_1\oplus M_3$ trong $K(\mathscr{C})$ là phân biệt.

d) Đồng cấu tự nhiên từ $K(\mathscr{C})$ đến $K(\mathscr{H})$ có phải là đơn ánh không?