Exercice 1, § 11

Étiquette 00DS, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 00DS].

Algèbre, VIII, p. 202

Soit $p$ un nombre premier. Notons $\mathscr{C}$ l’ensemble des classes des $\mathbf{Z}$ -modules de la forme $(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^n\oplus (\mathbf{Z}/p^3\mathbf{Z})^m$ pour $n, m\in \mathbf{N}$ .

a) Démontrer que $\mathscr{C}$ est additif mais qu’il n’est pas héréditaire. Quel est le plus petit ensemble héréditaire $\mathscr{H}$ contenant $\mathscr{C}$ ?

b) Démontrer que toute suite exacte courte de modules de type $\mathscr{C}$ est scindée. Décrire le groupe $K(\mathscr{C})$ .

c) Construire une suite exacte

0\rightarrow M_0\rightarrow M_1\rightarrow M_2\rightarrow M_3\rightarrow M_4\rightarrow 0

de modules de type $\mathscr{C}$ telle que les classes de $M_0\oplus M_2\oplus M_4$ et $M_1\oplus M_3$ dans $K(\mathscr{C})$ soient distinctes.

d) L’homomorphisme naturel de $K(\mathscr{C})$ dans $K(\mathscr{H})$ est il injectif ?

Solution

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