Bài tập 11, § 11

Lấy các giả thiết và ký hiệu của Bài tập 8. Ký hiệu $f': D\rightarrow B$ và $g': D\rightarrow A$ là các đồng cấu suy ra từ hai phép chiếu và

$\varphi_1: K_1(D)\rightarrow K_1(A)\times K_1(B)$ và $\psi_1: K_1(A)\times K_1(B)\rightarrow K_1(C)$

là các ánh xạ được xác định bởi $\varphi_1(z) = (g^{'*}(z), f^{'*}(z))$ và $\psi_1(x, y) =f^*(x)-g^*(y)$. a) Chứng minh rằng dãy

là khớp (chú ý rằng $f(E(A)) = E(C)$). Chứng minh rằng nếu hơn nữa tồn tại một đồng cấu vành $s: C\rightarrow A$ sao cho $f\circ s=$ Id$_C$, thì $\psi_1$ là toàn ánh.

b) Với mọi số nguyên $n$ và mọi phần tử $g$ của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n$(C), ký hiệu $P_g$ là D-môđun xạ ảnh liên kết với các môđun $A^n$ và $B^n$ và đẳng cấu từ $C\otimes_AA^n$ đến $C\otimes_BB^n$ có ma trận $g$ (Bài tập 8). Xây dựng một đồng cấu $\partial : K_1(C)\rightarrow K_0(D)$ sao cho $\partial \circ \iota_n(g) = [P_g]-[D^n_s]$ với mọi số nguyên $n$ và mọi phần tử $g$ của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(C)$.

c) Chứng minh rằng dãy

là khớp.