Exercice 11, § 11

On reprend les hypothèses et notations de l’exerc. 8. On note $f': D\rightarrow B$ et $g': D\rightarrow A$ les homomorphismes déduits des deux projections,

$\varphi_1: K_1(D)\rightarrow K_1(A)\times K_1(B)$ et $\psi_1: K_1(A)\times K_1(B)\rightarrow K_1(C)$

les applications définies par $\varphi_1(z) = (g^{'*}(z), f^{'*}(z))$ et $\psi_1(x, y) =f^*(x)-g^*(y)$.

a) Démontrer que la suite

est exacte (on remarquera que $f(E(A)) = E(C)$). Si de plus il existe un homomorphisme d’anneaux $s: C\rightarrow A$ tel que $f\circ s=$ Id$_C$, démontrer que $\psi_1$ est surjectif.

b) Pour tout entier $n$ et tout élément $g$ de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n$(C), on note $P_g$ le D-module projectif associé aux modules $A^n, B^n$ et à l’isomorphisme de $C\otimes_AA^n$ sur $C\otimes_BB^n$ de matrice $g$ (exerc. 8). Construire un homomorphisme $\partial : K_1(C)\rightarrow K_0(D)$ tel que$\partial \circ \iota_n(g) = [P_g]-[D^n_s]$ pour tout entier $n$ et tout élément $g$ de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(C)$.

c) Prouver que la suite

est exacte.