Bài tập 1, § 12

Cho A và B là các K-đại số và M là một A-môđun; xem $M\otimes B$ như một môđun trên đại số $C = A\otimes B$. Đồng nhất M với một A-môđun con của $M\otimes B$.

a) Chứng minh bao hàm $M\cap \mathfrak{R}_C(M\otimes B)\subset \mathfrak{R}_A(M)$ (xét một đồng cấu A-tuyến tính từ M vào một A-môđun đơn).

b) Chứng minh rằng ta có đẳng thức trong mỗi trường hợp sau:

(i) A là hữu hạn chiều trên K.

(ii) A-môđun M sinh hữu hạn, và A là hợp của một họ có hướng phải các đại số con hữu hạn chiều trên K.

(iii) $M = A_s$, và căn của A là lũy linh.

(Trong trường hợp (i), ta chứng minh rằng mọi đồng cấu từ $M\otimes B$ vào một C-môđun đơn S đều bằng không trên $\mathfrak{R}_A$(M), bằng cách nhận thấy rằng $\mathfrak{R}_C(S)$ bằng không.)