Exercice 1, § 12

Soient A, B des K-algèbres, M un A-module ; on considère $M\otimes B$ comme un module sur l’algèbre $C = A\otimes B$. On identifie M à un sous-A-module de $M\otimes B$.

a) Démontrer l’inclusion $M\cap \mathfrak{R}_C(M\otimes B)\subset \mathfrak{R}_A(M)$ (considérer un homomorphisme A-linéaire de M dans un A-module simple).

b) Prouver qu’on a égalité dans chacun des cas suivants :

(i) A est de dimension finie sur K ;

(ii) le A-module M est de type fini, et A est réunion d’une famille filtrante croissante de sous-algèbres de dimension finie sur K ;

(iii) $M = A_s$, et le radical de A est nilpotent.

(Dans le cas (i), on prouvera que tout homomorphisme de $M\otimes B$ dans un C-module simple S s’annule sur $\mathfrak{R}_A$(M), en observant que $\mathfrak{R}_C(S)$ est nul.)