Bài tập 12, § 12

Cho $A_1$ là đại số trên K $K(X)[U]_{1,d/dX}$ (VIII, p. 11), $A_2$ là đại số trên K K[[T]], và A là đại số trên K $A_1\otimes_KA_2$. Đồng nhất $A_1$ và $A_2$ với các đại số con của A.

a) Chứng minh rằng $A_2$ là tâm của A, rằng A không chứa ước của không, và rằng các phần tử khả nghịch của A chính là các phần tử của $A_2$.

b) Chứng minh rằng các iđêan hai phía của A là các iđêan AT$^n$ với $n\geqslant 0$.

c) Chứng minh rằng vành A là nguyên thủy mặc dù tâm của nó có căn khác không (nhận thấy rằng một iđêan trái cực đại của A chứa $1-$ TU không chứa iđêan hai phía nào khác ngoài 0).