Exercice 12, § 12

Soient $A_1$ la K-algèbre $K(X)[U]_{1,^d}$ (VIII, p. 10), $A_2$ la K-algèbre K[[T]], et A la K-algèbre $A_1\otimes_KA_2$. On identifie $A_1$ et $A^{^{\overline{dX}}}_2$ à des sous-algèbres de A.

a) Démontrer que $A_2$ est le centre de A, que A ne contient pas de diviseurs de zéro, et que les éléments inversibles de A sont ceux de $A_2$.

b) Prouver que les idéaux bilatères de A sont les idéaux AT$^n$, pour $n\geqslant 0$.

c) Prouver que l’anneau A est primitif, bien que son centre ait un radical non nul (observer qu’un idéal à gauche maximal de A contenant $1-$ TU ne contient aucun idéal bilatère autre que 0).