Bài tập 17, § 12

Cho K là một trường giao hoán và D và E là các trường mà tâm chứa K. Giả sử rằng $[E : K] =m$ là hữu hạn và tâm của một trong hai trường D và E bằng K. Khi đó K-đại số $D\otimes_KE$ đẳng cấu với đại số tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều $h$ trên một trường C (VIII, p. 222, Hệ quả 2).

a) Chứng minh rằng $h$ chia $m$ (xem VIII, p. 205, công thức (32)). b) Cho W là một không gian vectơ trên D; khi đó E đẳng cấu với một đại số con trên K của End$_D(W)$ khi và chỉ khi chiều của W là vô hạn hoặc là một bội của $m/h$ (chú ý rằng khi đó W là một $(D\otimes_K$ E)-môđun).

c) Chứng minh rằng nếu [D : K] là hữu hạn và nguyên tố cùng nhau với $m$, thì $D\otimes_KE$ là một trường (áp dụng a)).