Exercice 17, § 12

Soient K un corps commutatif, D et E des corps dont le centre contient K. On suppose que $[E : K] =m$ est fini, et que le centre de l’un des deux corps D ou E est égal à K. La K-algèbre $D\otimes_KE$ est alors isomorphe à l’algèbre des endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie $h$ sur un corps C (VIII, p. 217, cor. 2).

a) Prouver que $h$ divise $m($cf. VIII, p. 200, formule (32)).

b) Soit W un espace vectoriel sur D ; pour que E soit isomorphe à une sous-K-algèbre de End$_D$(W), il faut et il suffit que la dimension de W soit infinie ou multiple de $m/h$ (remarquer que W est alors un $(D\otimes_K$ E)-module).

c) Si [D : K] est fini et étranger à $m$, démontrer que $D\otimes_KE$ est un corps (appliquer a)).