Bài tập 9, § 12

Cho A và B là các K-đại số, M là một A-môđun tự do, và N là một B-môđun.

a) Chứng minh rằng ảnh của đồng cấu chính tắc $\vartheta$ từ End$_A(M)\otimes$End$_B(N)$ đến End$_{A\otimes B}(M\otimes N)$ là một vành con trù mật của vành End$_{A\otimes B}(M\otimes N)$.

b) Nếu vành các phép nhân vô hướng của B-môđun N là trù mật trong đối giao hoán tử kép của nó, thì điều đó cũng đúng cho vành các phép nhân vô hướng của $(A\otimes$ B)-môđun $M\otimes N$.

c) Giả sử rằng tồn tại một phần tử $y$ của N và một dãy $(v_n)$ các tự đồng cấu của N sao cho các phần tử $v_n(y)$ sinh ra một không gian vectơ vô hạn chiều trên K. Chứng minh rằng ánh xạ $\vartheta$ không toàn ánh.