Exercice 9, § 12

Soient A et B des K-algèbres, M un A-module libre, N un B-module.

a) Démontrer que l’image de l’homomorphisme canonique $\vartheta$ de End$_A(M)\otimes$End$_B(N)$ dans End$_{A\otimes B}(M\otimes N)$ est un sous-anneau dense de l’anneau End$_{A\otimes B}(M\otimes N)$.

b) Si l’anneau des homothéties du B-module N est dense dans son bicommutant, il en est de même de l’anneau des homothéties du $(A\otimes$ B)-module $M\otimes N$.

c) On suppose qu’il existe un élément $y$ de N et une suite $(v_n)$ d’endomorphismes de N telle que les éléments $v_n(y)$ engendrent un espace vectoriel de dimension infinie sur K. Démontrer que l’application $\vartheta$ n’est pas surjective.