Bài tập 7, § 13

Cho E là một mở rộng căn $p$ của một trường giao hoán K có đặc số $p >0$. Giả sử vành $E\otimes_KE$ là Noether.

a) Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $k$ sao cho $E\subset K^{p^{-k}}$ (lập luận bằng phản chứng: xây dựng một dãy $(x_n)$ trong E sao cho $(x_n\otimes 1-1\otimes x_n)^{p^{n-1}}\not= 0$ và $(x_n\otimes 1-$ $1\otimes x_n$)$^{p^n}= 0)$.

b) Cho $F = K(E^p)$, và cho $(x_i)_{i\in I}$ là một cơ sở $p$ của E trên F (V, §13, No. 1, p. 98). Đặt $y_i=x_i\otimes 1$ và $z_i=x_i\otimes 1-1\otimes x_i$. Gọi Λ là tập con của $\mathbf{N}^{(I)}$ gồm các họ $(\alpha_i)_{i\in I}$ sao cho $\alpha_i< p$ với mọi $i$. Chứng minh rằng các phần tử $\prod_{i\in I}y^{\alpha_i}_iz_i^{\beta_i}$ với $(\alpha_i), (\beta_i)\in \Lambda$ lập thành một cơ sở của không gian vectơ trên F $E\otimes_FE$. Suy ra rằng I là hữu hạn (lưu ý rằng vành $E\otimes_FE$ là Noether).

c) Kết luận rằng E có bậc hữu hạn trên K (dùng Bài tập 1, b) của V, §13, p. 170).