Exercice 7, § 13

Soit E une extension radicielle d’un corps commutatif K, de caractéristique $p >0$. On suppose que l’anneau $E\otimes_KE$ est noethérien.

a) Prouver qu’il existe un entier $k$ tel que $E\subset K^{p^{-k}}$ (raisonner par l’absurde en construisant une suite $(x_n)$ dans E telle que $(x_n\otimes 1-1\otimes x_n)^{p^{n-1}}\not= 0, (x_n\otimes 1-1\otimes x_n)^{p^n}= 0$).

b) Soit $F = K(E^p)$ et soit $(x_i)_{i\in I}$ une $p$-base de E sur F (V, p. 93). On pose $y_i=x_i\otimes 1$ et $z_i=x_i\otimes 1-1\otimes x_i$. Soit Λ la partie de $\mathbf{N}^{(I)}$ formée des familles $(\alpha_i)_{i\in I}$ telles que $\alpha_i< p$ pour tout $i$; démontrer que les éléments $\prod_{i\in I}y^{\alpha_i}_iz^{\beta_i}_i$ pour $(\alpha_i),(\beta_i)\in \Lambda$ forment une base du F-espace vectoriel $E\otimes_FE$. En déduire que I est fini (observer que l’anneau $E\otimes_FE$ est noethérien).

c) Conclure que E est de degré fini sur K (utiliser l’exerc. 1 b) de V, p. 160).