Bài tập 11, § 14

Cho A là một miền nguyên giao hoán, K là trường phân thức của nó, và S là một đại số Azumaya trên A (Bài tập 8).

a) Chứng minh rằng đại số trên K $S_{(K)}$ là đơn tâm. Đồng nhất S với một đại số con của $S_{(K)}$. b) Từ nay giả sử rằng A là đại số con trên A duy nhất của K là một A-môđun hữu hạn sinh, $*$nghĩa là, vành A là nguyên đóng, xem Comm. Alg., V,

§1, No. $1, 2*$. Chứng minh rằng S là cực đại (đối với bao hàm) trong số các đại số con trên A của $S_{(K)}$ là các A-môđun hữu hạn sinh (áp dụng Bài tập 9, d)).

c) Giả sử thêm rằng A là Noether và rằng đại số trên K $S_{(K)}$ đẳng cấu với End$_K$(V), trong đó V là một không gian vectơ trên K. Chứng minh rằng tồn tại một A-môđun hữu hạn sinh không xoắn M sao cho đại số trên A S đẳng cấu với End$_A(M)$ (lấy $x$ là một vectơ khác không của V; lấy M là tập hợp các phần tử $s(x)$ khi $s$ chạy qua S).

$*$d) Chứng minh rằng trong phép dựng trước, ta có thể giả sử M phản xạ (thay thế M

bằng đối ngẫu kép của nó). Hơn nữa, nếu vành A là chính quy (AC, X, §4, n$^o2$, p. 55, định nghĩa 1), thì A-môđun M là xạ ảnh (áp dụng AC, X, §4, p. 164, bài tập $12$)$.*$