Exercice 11, § 14

Soient A un anneau commutatif intègre, K son corps des fractions, S une A-algèbre d’Azumaya (exerc. 8).

a) Prouver que la K-algèbre $S_{(K)}$ est centrale et simple. On identifie S à une sous-algèbre de $S_{(K)}$.

b) On suppose désormais que A est la seule sous-A-algèbre de K qui soit un A-module de type fini $*$c’est-à-dire que l’anneau A est intégralement clos, cf. AC, V, §1, n$^{os}1$ et $2*$;

démontrer que S est maximale (pour la relation d’inclusion) parmi les sous-A-algèbres de $S_{(K)}$ qui sont de type fini en tant que A-module (appliquer l’exerc. 9 d)).

c) On suppose en outre que A est noethérien, et que la K-algèbre $S_{(K)}$ est isomorphe à End$_K$(V), où V est un espace vectoriel sur K. Prouver qu’il existe un A-module de type fini sans torsion M tel que la A-algèbre S soit isomorphe à End$_A(M)$ (soit $x$ un vecteur non nul de V ; prendre pour M l’ensemble des éléments $s(x)$ lorsque $s$ parcourt S).

$*$d) Démontrer que dans la construction précédente on peut supposer M réflexif

(remplacer M par son bidual). Si en outre l’anneau A est régulier (AC, X, p. 55, déf. 1), le A-module M est alors projectif (appliquer AC, p. 164, exerc. $12$)$.*$