Bài tập 13, § 14

Cho D là một trường, V là một không gian vectơ trái trên D, A là vành End$_D$(V), và $f$ là một tự đẳng cấu của A. Chứng minh rằng tồn tại một tự đẳng cấu $\sigma$ của D và một ánh xạ song ánh $u: V\rightarrow V$ nửa tuyến tính đối với $\sigma$ (II, §1, No. 13, p. 223) sao cho ta có $f(a) =u\circ a\circ u^{-1}$ với mọi $a\in A$. (Đặt $V^f$ là A-môđun có nhóm cộng V và phép toán ngoài được xác định bởi $(a, v)\mapsto f(a)(v)$; suy ra từ Mệnh đề 4 của VIII, p. 50 một A-đẳng cấu $u: V\rightarrow V^f$. Sau đó, nhận thấy rằng $uDu^{-1}$ bằng đối giao hoán tử kép của D-môđun V, tức là, bằng D.)