Exercice 13, § 14

Soient D un corps, V un espace vectoriel à gauche sur D, A l’anneau End$_D(V)$ et $f$ un automorphisme de A. Prouver qu’il existe un automorphisme $\sigma$ de D et une application bijective $u: V\rightarrow V$, semi-linéaire relativement à $\sigma$ (II, p. 32), telle qu’on ait $f(a) =$ $u\circ a\circ u^{-1}$ pour tout $a\in A$ (soit $V^f$ le A-module dont le groupe additif est V et la loi d’action est définie par $(a, v)\rightarrow f(a)(v)$; déduire de la prop. 4 de VIII, p. 46 un A-isomorphisme $u: V\rightarrow V^f$. Observer ensuite que $uDu^{-1}$ est égal au bicommutant du D-module V, c’est-à-dire à D).