Bài tập 9, § 14

Cho A là một vành giao hoán và S là một đại số Azumaya trên A (Bài tập 8).

a) Chứng minh rằng tâm của S (mà ta đồng nhất với A) là một nhân tử trực tiếp của A-môđun S (dùng Bài tập 7, d)).

b) Cho M là một $(S$, S)-song môđun; ký hiệu bởi $\mathscr{Z}(M)$ A-môđun con của M gồm các phần tử $m$ sao cho $sm=ms$ với mọi $s\in S$. Suy ra từ Bài tập 8, a) rằng đồng cấu chính tắc $S\otimes_A\mathscr{Z}(M)\rightarrow M$ là song ánh.

c) Ánh xạ $N\mapsto \mathscr{Z}(N)$ là một song ánh tăng từ tập hợp các môđun con song $(S$, S) của M lên tập hợp các A-môđun con của $\mathscr{Z}(M)$; song ánh ngược biến một A-môđun con N của $\mathscr{Z}(M)$ thành môđun con song $(S$, S) SN của M. Đặc biệt, ánh xạ $\mathfrak{s}\mapsto \mathfrak{s}\cap A$ là một song ánh tăng từ tập hợp các iđêan hai phía của S lên tập hợp các iđêan của A.

d) Cho $\rho : S\rightarrow T$ là một đồng cấu đại số trên A, và gọi $S'$ là hoán tập của $\rho (S)$ trong T. Hãy chứng minh rằng đồng cấu chính tắc $S\otimes_AS'\rightarrow T$ là song ánh (áp dụng a) cho song môđun $(S$, S)-song môđun T).

e) Giả sử rằng mọi A-môđun xạ ảnh L sao cho dim$_{A/\mathfrak{m}}(L/\mathfrak{m}L) = 1$ với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A đều là tự do hạng 1 (điều này chẳng hạn xảy ra khi vành A là địa phương hoặc là một miền iđêan chính). Hãy chứng minh rằng mọi tự đồng cấu $f$ của đại số trên A S đều là một tự đẳng cấu trong (áp dụng a) cho song môđun $(S$, S)-song môđun $S^f$, sử dụng Bài tập 8, a) để chỉ ra rằng A-môđun $\mathscr{Z}(S^f)$ là xạ ảnh).