Exercice 9, § 14

Soient A un anneau commutatif et S une A-algèbre d’Azumaya (exerc. 8).

a) Prouver que le centre de S (qui s’identifie à A) est facteur direct du A-module S (utiliser l’exerc. 7 d)).

b) Soit M un $(S$, S)-bimodule ; on désigne par $\mathscr{Z}(M)$ le sous-A-module de M formé des éléments $m$ tels que $sm=ms$ pour tout $s\in S$. Déduire de l’exerc. 8 a) que l’homomorphisme canonique $S\otimes_A\mathscr{Z}(M)\rightarrow M$ est bijectif.

c) L’application $N\rightarrow \mathscr{Z}(N)$ est une bijection croissante de l’ensemble des sous-(S$,S$)-bimodules de M sur celui des sous-A-modules de $\mathscr{Z}(M)$; la bijection réciproque associe à un sous-A-module N de $\mathscr{Z}(M)$ le sous-(S, S)-bimodule SN de M. En particulier, l’application $\mathfrak{s}\rightarrow \mathfrak{s}\cap A$ est une bijection croissante de l’ensemble des idéaux bilatères de S sur celui des idéaux de A.

d) Soit $\rho : S\rightarrow T$ un homomorphisme de A-algèbres et soit $S'$ le commutant de $\rho (S)$ dans T ; prouver que l’homomorphisme canonique $S\otimes_AS'\rightarrow T$ est bijectif (appliquer a) au $(S$, S)-bimodule T).

e) On suppose que tout A-module projectif L tel que dim$_{A/\mathfrak{m}}(L/\mathfrak{m}L) = 1$ pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A est libre de rang un (ce qui a lieu par exemple si l’anneau A est local ou principal). Prouver que tout endomorphisme $f$ de la A-algèbre S est un automorphisme intérieur (appliquer a) au $(S$, S)-bimodule $S^f$, en observant à l’aide de l’exerc. 8 a) que le A-module $\mathscr{Z}(S^f)$ est projectif).