Bài tập 1, § 16

Cho G là một nhóm và $\mathbf{Z}[G]$ là đại số của G trên $\mathbf{Z}$; ta đồng nhất G với cơ sở chính tắc của $\mathbf{Z}[G]$. Cho M là một $\mathbf{Z}$[G]-môđun, nghĩa là một nhóm Abel được trang bị một tác động của G thỏa mãn cấu trúc nhóm của nó. Với mọi số nguyên $n\geqslant 0$, ký hiệu $C^n(G,M)$ là nhóm các ánh xạ từ $G^n$ vào M; đặt $C^n(G,M) = 0$ với $n <0$. Định nghĩa một đồng cấu $d^n: C^n(G,M)\rightarrow C^{n+1}(G,M)$ bởi công thức

Với mọi số nguyên $n$, đặt $Z^n(G,M) =$ Hạt nhân $d^n$ và $B^n(G,M) =$ Ảnh $d^n$.

a) Chứng minh rằng $B^n(G,M)$ được chứa trong $Z^n(G,M)$.

Đặt $H^n(G,M) = Z^n(G,M)/B^n(G,M)$. Nhóm $H^0(G,M)$ là tập hợp các phần tử của M cố định bởi tác động của G. Nhóm $Z^1(G,M)$ là nhóm các ánh xạ $f: G\rightarrow M$ thỏa mãn $f(gg') =f(g) +g f(g')$, và $B^1(G,M)$ là nhóm con các ánh xạ $f$ sao cho tồn tại một $m\in M$ mà $f(g) =gm-m$ (xem I, §6, p. 148, Bài tập 7).

b) Cho N là một $\mathbf{Z}$[G]-môđun và $u: M\rightarrow N$ là một ánh xạ tuyến tính $\mathbf{Z}$[G]. Với mọi số nguyên $n$, ánh xạ $c\mapsto u\circ c$ là một đồng cấu từ $C^n(G,M)$ vào $C^n(G,N)$ gửi $Z^n(G,M)$ vào $Z^n(G,N)$ và $B^n(G,M)$ vào $B^n(G,N)$ và do đó cảm sinh một đồng cấu từ $H^n(G,M)$ vào $H^n(G,N)$ mà ta ký hiệu là $H^n(G, u)$ hoặc đơn giản là $H^n(u)$. Nếu $v: N\rightarrow P$ là một đồng cấu của các $\mathbf{Z}$[G]-môđun, thì ta có $H^n(v\circ u) = H^n(v)\circ H^n(u)$.

c) Cho $0\rightarrow M'\rightarrow^{\iota}M\rightarrow^{\pi}M''\rightarrow 0$ là một dãy khớp các môđun $\mathbf{Z}$[G]. Cho $n$ là một số nguyên và $x''$ là một phần tử của $H^n(G,M'')$, lớp của một phần tử $c''\in$ $Z^n(G,M'')$. Cho $c\in C^n(G,M)$ sao cho $\pi \circ c=c''$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $c'\in Z^{n+1}(G,M')$ sao cho $\iota \circ c'=d^n(c)$ và lớp của $c'$ trong $H^{n+1}(G,M')$ chỉ phụ thuộc vào $x''$; ta ký hiệu lớp đó bởi $\partial^n(x'')$. Ánh xạ $\partial^n: H^n(G,M'')\rightarrow H^{n+1}(G,M')$ là một đồng cấu (“đồng cấu liên kết”). Chứng minh rằng dãy

$n'H^n(\iota )nH^n(\pi )n''\partial^nn+1'$

$\cdots \longrightarrow H(G,M)\longrightarrow H(G,M)\longrightarrow$ H $(G,M)\longrightarrow H(G,M)\longrightarrow \cdots$

là khớp.