Exercice 1, § 16

Soient G un groupe, $\mathbf{Z}[G]$ l’algèbre de G sur $\mathbf{Z}$; on identifie G à la base canonique de $\mathbf{Z}[G]$. Soit M un $\mathbf{Z}$[G]-module, c’est-à-dire un groupe commutatif muni d’une action de G respectant sa structure de groupe. Pour tout entier $n\geqslant 0$, on note $C^n(G,M)$ le groupe des applications de $G^n$ dans M ; on pose $C^n(G,M) = 0$ pour $n <0$. On définit un homomorphisme $d^n: C^n(G,M)\rightarrow C^{n+1}(G,M)$ par la formule

Pour tout entier $n$, on pose $Z^n(G,M) =$ Ker$d^n$ et $B^n(G,M) =$ Im $d^n$.

a) Prouver que $B^n(G,M)$ est contenu dans $Z^n(G,M)$. On pose $H^n(G,M) =$ $Z^n(G,M)/B^n(G,M)$. Le groupe $H^0(G,M)$ est l’ensemble des éléments de M fixes par l’action de G ; le groupe $Z^1(G,M)$ est le groupe des applications $f: G\rightarrow M$ satisfaisant à $f(gg') =f(g) +g f(g')$, et $B^1(G,M)$ est le sous-groupe des applications $f$ pour lesquelles il existe $m\in M$ tel que $f(g) =gm-m($cf. I, p. 135, exerc. 7).

b) Soient N un $\mathbf{Z}$[G]-module et $u: M\rightarrow N$ une application $\mathbf{Z}$[G]-linéaire. Pour tout entier $n$, l’application $c\rightarrow u\circ c$ est un homomorphisme de $C^n(G,M)$ dans $C^n(G,N)$, qui applique $Z^n(G,M)$ dans $Z^n(G,N)$ et $B^n(G,M)$ dans $B^n(G,N)$, et induit donc un homomorphisme de $H^n(G,M)$ dans $H^n(G,N)$, noté $H^n(G, u)$ ou simplement $H^n(u)$. Si $v: N\rightarrow P$ est un homomorphisme de $\mathbf{Z}$[G]-modules, on a $H^n(v\circ u) = H^n(v)\circ H^n(u)$.

c) Soit $0\rightarrow M'\rightarrow^{\iota}M\rightarrow^{\pi}M''\rightarrow 0$ une suite exacte de$\mathbf{Z}$[G]-modules. Soient $n$ un entier et $x''$ un élément de $H^n(G,M'')$, classe d’un élément $c''\in Z^n(G,M'')$. Soit $c\in C^n(G,M)$ tel que $\pi \circ c=c''$. Prouver qu’il existe un élément $c'\in Z^{n+1}(G,M')$ tel que $\iota \circ c'=d^n(c)$, et que la classe de $c'$ dans $H^{n+1}(G,M')$ ne dépend que de $x''$; on la note $\partial^n(x'')$. L’application $\partial^n: H^n(G,M'')\rightarrow H^{n+1}(G,M')$ est un homomorphisme (« homomorphisme de liaison ») ; prouver que la suite

est exacte.