Bài tập 12, § 16

Cho A là một vành giao hoán. Trang bị cho tập hợp các lớp đẳng cấu của các đại số Azumaya trên A (VIII, p. 270, Bài tập 8) cấu trúc một monoide bằng cách đặt cl(S) cl(T) = cl(S $\otimes_AT$).

a) Chứng minh rằng monoide thương theo tương đương Morita là một nhóm Abel; ta ký hiệu nó bởi Br(A) và gọi nó là nhóm Brauer của A (khi A là một trường, định nghĩa này trùng với định nghĩa đã cho ở VIII, p. 279). Ký hiệu bởi [S] lớp của một đại số Azumaya trên A S trong Br(A). Phần tử đơn vị của Br(A) là lớp của A, và nghịch đảo của một phần tử [S] là $[S^o]$.

b) Cho S là một đại số Azumaya trên A. Ta có [S] = [A] khi và chỉ khi tồn tại một A-môđun sinh hữu hạn, xạ ảnh, trung thành P sao cho S đẳng cấu với End$_A(P)$.

c) Cho B là một đại số giao hoán trên A. Định nghĩa một đồng cấu nhóm $r_{B/A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br(B) sao cho $r_{B/A}([S]) = [S_{(B)}]$ với mọi đại số Azumaya trên A S. Ta ký hiệu hạt nhân của đồng cấu này bởi Br(B$/A$).