Exercice 12, § 16

Soit A un anneau commutatif. On munit l’ensemble des classes d’isomorphisme de A-algèbres d’Azumaya (VIII, p. 266, exerc. 8) d’une structure de monoïde en posant cl(S) cl(T) = cl(S $\otimes_AT$).

a) Prouver que le monoïde quotient pour l’équivalence de Morita est un groupe commutatif, qu’on note Br(A) et qu’on appelle le groupe de Brauer de A (si A est un corps cette définition coïncide avec celle donnée en VIII, p. 275). On note [S] la classe dans Br(A) d’une A-algèbre d’Azumaya S. L’élément neutre de Br(A) est la classe de A, et l’inverse d’un élément [S] est $[S^o]$.

b) Soit S une algèbre d’Azumaya sur A. Pour qu’on ait [S] = [A], il faut et ils suffit qu’il existe un A-module P fidèle et projectif de type fini tel que S soit isomorphe à End$_A(P)$.

c) Soit B une A-algèbre commutative. Définir un homomorphisme de groupes $r_{B/A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br(B) tel que $r_{B/A}([S]) = [S_{(B)}]$ pour toute A-algèbre d’Azumaya S. On note Br(B$/A$) le noyau de cet homomorphisme.