Bài tập 13, § 16

Cho A là một vành giao hoán, B là một đại số giao hoán trên A, và G là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của B như một đại số trên A. Giả sử rằng B là một A-môđun sinh hữu hạn, xạ ảnh, trung thành và đồng cấu A-tuyến tính $\psi : B\otimes_AB\rightarrow B^G$ được xác định bởi $\psi (b\otimes b') = (\sigma (b)b')_{\sigma\in G}$ là song ánh.

a) Cho N là một B-môđun, được trang bị một đồng cấu $\sigma \mapsto u_{\sigma}$ từ G vào Aut$_A(N)$ thỏa mãn $u_{\sigma}(bx) =\sigma (b)u_{\sigma}(x)$ với mọi $\sigma \in G,b\in B,x\in N$. Gọi M là A-môđun con của N gồm các phần tử $x$ sao cho $u_{\sigma}(x) =x$ với mọi $\sigma \in G$. Chứng minh rằng B-đồng cấu chính tắc $B\otimes_AM\rightarrow N$ là song ánh (dùng Bài tập 7, d) của VIII, p. 270 để rút gọn về trường hợp B là đại số tích $A^G$ mà trên đó G tác động bằng cách hoán vị các thừa số).

b) Cho S là một đại số trên A và M là nhóm tự đẳng cấu của B-đại số $S_{(B)}$, trên đó G tác động bởi $^{\sigma}\varphi =$ (Id$_S\otimes \sigma$ )$\circ \varphi \circ$ (Id$_S\otimes \sigma$ )$^{-1}$. Mở rộng phép dựng của Bài tập 6 để định nghĩa một song ánh từ tập hợp các lớp đẳng cấu của các cặp $(T, u)$, trong đó T là một đại số trên A và $u$ là một đẳng cấu từ $T_{(B)}$ đến $S_{(B)}$, lên tập hợp $Z^1(G,M)$, cũng như một song ánh từ tập hợp các lớp đẳng cấu của các đại số trên A T sao cho các B-đại số $T_{(B)}$ và $S_{(B)}$ là đẳng cấu tới $H^1(G,M)$.

c) Giả sử từ nay trở đi rằng mọi B-môđun xạ ảnh đều tự do. Hãy thích nghi lập luận của Bài tập 8 để xây dựng một đẳng cấu $\theta :$ Br(B$/A$)$\rightarrow H^2(G,B^*)$.