Exercice 13, § 16

Soient A un anneau commutatif, B une A-algèbre commutative et G un groupe fini d’automorphismes de la A-algèbre B. On suppose que B est un A-module projectif de type fini et fidèle, et que l’homomorphisme A-linéaire $\psi : B\otimes_AB\rightarrow B^G$ tel que $\psi (b\otimes b') = (\sigma (b)b')_{\sigma\in G}$ est bijectif.

a) Soit N un B-module, muni d’un homomorphisme $\sigma \rightarrow u_{\sigma}$ de G dans Aut$_A(N)$ satisfaisant à $u_{\sigma}(bx) =\sigma (b)u_{\sigma}(x)$ pour $\sigma \in G,b\in B,x\in N$. Soit M le sous-A-module de N formé des éléments $x$ tels que $u_{\sigma}(x) =x$ pour tout $\sigma \in G$. Prouver que le B-homomorphisme canonique $B\otimes_AM\rightarrow N$ est bijectif (à l’aide de l’exerc. 7, d) de VIII, p. 266, se ramener au cas où B est l’algèbre produit $A^G$ sur laquelle G opère par permutation des facteurs).

b) Soit S une A-algèbre, M le groupe d’automorphismes de la B-algèbre $S_{(B)}$, sur lequel G agit par la règle $^{\sigma}\varphi =$ (Id$_S\otimes \sigma$ )$\circ \varphi \circ$ (Id$_S\otimes \sigma$ )$^{-1}$. Étendre la construction de l’exerc. 6 pour définir une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples $(T, u)$, où T est une A-algèbre et $u$ un isomorphisme de $T_{(B)}$ sur $S_{(B)}$, sur l’ensemble $Z^1(G,M)$, ainsi qu’une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphisme de A-algèbres T telles que les B-algèbres $T_{(B)}$ et $S_{(B)}$ soient isomorphes sur $H^1(G,M)$.

c) On suppose désormais que tout B-module projectif est libre. En adaptant les raisonnements de l’exerc. 8, construire un isomorphisme $\theta :$ Br(B$/A$)$\rightarrow H^2(G,B^*)$.