Bài tập 14, § 16

Cho A là một vành địa phương giao hoán Noether, $\mathfrak{m}$ iđêan cực đại của nó, $\kappa$ trường $A/\mathfrak{m}$, và S một đại số Azumaya trên A.

a) Cho $e$ là một lũy đẳng trong S mà ảnh của nó trong $S/\mathfrak{m}S$ là một lũy đẳng không phân tích được. Suy ra từ Bổ đề Nakayama (x. VIII, p. 168, Bài tập 16) rằng đồng cấu chính tắc $S\rightarrow$ End$_A(Se)$ là song ánh.

b) Giả sử rằng $\mathfrak{m}$ là lũy linh $*$(hoặc, nói chung hơn, rằng A là đầy đủ đối với tôpô $\mathfrak{m}$-adic)$*$. Chứng minh rằng đồng cấu $r_{\kappa /A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br($\kappa$ ) là đơn ánh.

$*$c) Từ nay giả sử rằng A là đầy đủ. Gọi L là một mở rộng tách được của $\kappa$ có

bậc hữu hạn và là trường phân rã của $\kappa$-đại số $S/\mathfrak{m}S$. Gọi $x$ là một phần tử nguyên thủy của $L,f$ là đa thức tối tiểu của nó, F là một đa thức đơn khởi trong A[X] có ảnh trong $\kappa [X]$ là $f$, và $B = A[X]/(F)$. Chứng minh rằng B là một A-đại số địa phương, tự do và sinh hữu hạn như một A-môđun, có iđêan cực đại $\mathfrak{m}B$ và trường thặng dư đẳng cấu với L; B-đại số $S_{(B)}$ đẳng cấu với một đại số ma trận.

d) Giả sử thêm rằng L là một mở rộng Galois của $\kappa$, với nhóm Galois G. Chứng minh rằng tác động của G trên L nâng thành một tác động trên A-đại số B (gọi $G'$ là nhóm tự đẳng cấu của đại số này; suy ra từ bổ đề Hensel (Comm. Alg., III, §4, No. 3, p. 215, Định lý 1) rằng đồng cấu tự nhiên $G'\rightarrow G$ là song ánh). Suy ra từ Bổ đề Nakayama rằng đồng cấu $\psi : B\otimes_AB\rightarrow B^G$ được định nghĩa trong Bài tập 13 là song ánh.

e) Chứng minh rằng đồng cấu $H^q(\pi ) : H^q(G,B^*)\rightarrow H^q(G,L^*)$ là song ánh với mọi $q\geqslant 1$. (Với $i\geqslant 1$, đặt $U^i$ là nhóm con gồm các phần tử $b$ của $B^*$ sao cho $b\equiv 1$ (mod $\mathfrak{m}^iB$). Nhận thấy rằng $\mathbf{Z}$[G]-môđun $U^i/U^{i+1}$ đẳng cấu với $\mathfrak{m}^iB/\mathfrak{m}^{i+1}B$, do đó đẳng cấu với một lũy thừa của L, và suy ra từ Bài tập 5, d) rằng $H^q(G,U^i/U^{i+1})$ bằng không với $q\geqslant 1$. Cho $c\in Z^q(G,U^1)$. Xây dựng, bằng quy nạp, một dãy $(b_n)$ với $b_n\in Z^{q-1}(G,U^n)$ sao cho $c-d^{q-1}(\sum^n_{i=1}b_i)$ thuộc $Z^q(G,U^{n+1})$. Kết luận rằng $H^q(G,U^1)$ bằng không với $q\geqslant 1.)$

f ) Kết luận rằng các đồng cấu chính tắc Br(B$/A$)$\rightarrow$ Br(L$/\kappa$ ) và Br(A) $\rightarrow$ Br($\kappa$ ) là song ánh.$*$