Exercice 14, § 16

Soient A un anneau commutatif local noethérien, $\mathfrak{m}$ son idéal maximal, $\kappa$ le corps $A/\mathfrak{m}, S$ une algèbre d’Azumaya sur A.

a) Soit $e$ un élément idempotent de S, dont l’image dans $S/\mathfrak{m}S$ est un idempotent indécomposable. Déduire du lemme de Nakayama (cf. VIII, p. 163, exerc. 16) que l’homomorphisme canonique $S\rightarrow$ End$_A(Se)$ est bijectif.

b) On suppose que $\mathfrak{m}$ est nilpotent $*$(ou plus généralement que A est complet pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique)$*$. Prouver que l’homomorphisme $r_{\kappa /A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br($\kappa$ ) est injectif.

$*$c) On suppose désormais A complet. Soit L une extension séparable de degré fini

de $\kappa$ qui déploie la $\kappa$-algèbre $S/\mathfrak{m}S$. Soient $x$ un élément primitif de $L,f$ son polynôme minimal, F un polynôme unitaire de A[X] dont l’image dans $\kappa [X]$ est $f$ et $B = A[X]/(F)$. Prouver que B est une A-algèbre locale, libre de type fini en tant que A-module, d’idéal maximal $\mathfrak{m}B$ et de corps résiduel isomorphe à L ; la B-algèbre $S_{(B)}$ est isomorphe à une algèbre de matrices.

d) On suppose de plus que L est une extension galoisienne de $\kappa$, de groupe de Galois G. Prouver que l’action de G sur L se relève en une action sur la A-algèbre B (soit $G'$ le groupe des automorphismes de cette algèbre ; déduire du lemme de Hensel (AC, III, p. 260, th. 1) que l’homomorphisme naturel $G'\rightarrow G$ est bijectif). Déduire du lemme de Nakayama que l’homomorphisme $\psi : B\otimes_AB\rightarrow B^G$ défini dans l’exerc. 13 est bijectif.

e) Prouver que l’homomorphisme $H^q(\pi ) : H^q(G,B^*)\rightarrow H^q(G,L^*)$ est bijectif pour tout $q\geqslant 1$.

(Pour $i\geqslant 1$, soit $U^i$ le sous-groupe des éléments $b$ de $B^*$ tels que $b\equiv 1$ (mod. $\mathfrak{m}^iB$); remarquer que le $\mathbf{Z}$[G]-module $U^i/U^{i+1}$ est isomorphe à $\mathfrak{m}^iB/\mathfrak{m}^{i+1}B$, donc à une puissance de L, et déduire de l’exerc. 5 d) que $H^q(G,U^i/U^{i+1})$ est nul pour $q\geqslant 1$. Soit $c\in Z^q(G,U^1)$; construire par récurrence une suite $(b_n)$, avec $b_n\in Z^{q-1}(G,U^n)$, telle que $c-d^{q-1}(\sum^n_{i=1}b_i)$ appartienne à $Z^q(G,U^{n+1})$; conclure que $H^q(G,U^1)$ est nul pour $q\geqslant 1.)$

f ) Conclure que les homomorphismes canoniques Br(B$/A$)$\rightarrow$ Br(L$/\kappa$ ) et Br(A) $\rightarrow$ Br($\kappa$ ) sont bijectifs.$*$