Bài tập 16, § 16

a) Chứng minh rằng đồng cấu $r_{K[X]/K}:$ Br(K) $\rightarrow$ Br(K[X]) cảm sinh một đẳng cấu từ Br(K) lên một nhân tử trực tiếp của Br(K[X]).

$*$b) Giả sử rằng trường K là hoàn hảo. Chứng minh rằng $r_{K[X]/K}$ là một đẳng cấu (suy ra từ định lý Tsen (VIII, p. 360, Bài tập 7) rằng Br(K[X]) là hợp của các nhóm Br(L[X]$/K[X]$), trong đó L chạy qua các mở rộng Galois của K có bậc hữu hạn, rồi áp dụng Bài tập 13).

c) Cho A là một $\mathbf{Q}$-đại số chính quy là một miền nguyên. Chứng minh rằng đồng cấu $r_{A[X]/A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br(A[X]) là song ánh (sử dụng b) và Bài tập 15 để chứng minh rằng đồng cấu Br(A[X]) $\rightarrow$ Br(A) suy ra từ toàn ánh $P\mapsto P(0)$ là đơn ánh).$*$

d) Giả sử rằng K có đặc số $p >0$ và không hoàn hảo; lấy $\theta \in K$ - $K^p$. Xem B = K[U] như một K[X]-đại số qua đồng cấu $\rho : K[X]\rightarrow B$ được xác định bởi $\rho (X) = U^p-U$. Gọi $\sigma$ là tự đẳng cấu của K[X]-đại số này sao cho $\sigma (U) = U + 1$, và gọi S là K[X]-đại số thương của $B[V]_{\sigma}$ (VIII, p. 11) theo iđêan hai phía $B(V^p-\theta )$. Cho L là một K[X]-đại số là một trường giao hoán. Chứng minh rằng nếu phương trình $y^p-y= X$ có nghiệm trong L, thì $S_{(L)}$ là một đại số ma trận trên L (lấy $L'= L[t]/(t^p-\theta )$; xét đồng cấu $S\rightarrow$ End$_L(L')$ gửi V tới phép nhân $m_t$ bởi t và U tới $m_y-D$, trong đó D là đạo hàm L của $L'$ sao cho $D(t) =t$). Trong trường hợp đối, $S_{(L)}$ là một L-đại số đơn tâm; nó là một đại số ma trận khi và chỉ khi $\theta$ là chuẩn của một phần tử của mở rộng $L[Y]/(Y^p-Y-X)$ của L (áp dụng Bài tập 11).

Suy ra rằng S là một K[X]-đại số Azumaya và rằng lớp của nó trong Br(K[X]) không đến từ Br(K) (lấy L = K(X)).