Exercice 16, § 16

a) Prouver que l’homomorphisme $r_{K[X]/K}:$ Br(K) $\rightarrow$ Br(K[X]) induit un isomorphisme de Br(K) sur un facteur direct de Br(K[X]).

$*$b) On suppose le corps K parfait. Prouver que $r_{K[X]/K}$ est un isomorphisme (déduire

du théorème de Tsen (VIII, p. 352, exerc. 7) que Br(K[X]) est réunion des groupes Br(L[X]$/K[X]$), où L parcourt les extensions galoisiennes de degré fini de K, puis appliquer l’exerc. 13).

c) Soit A une $\mathbf{Q}$-algèbre intègre régulière. Prouver que l’homomorphisme $r_{A[X]/A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br(A[X]) est bijectif (prouver à l’aide de b) et de l’exerc. 15 que l’homomorphisme Br(A[X]) $\rightarrow$ Br(A) déduit de la surjection $P\rightarrow P(0)$ est injectif).$*$

d) On suppose que K est de caractéristique $p >0$ et non parfait ; soit $\theta \in K$- $K^p$. On considère B = K[U] comme une K[X]-algèbre à l’aide de l’homomorphisme $\rho : K[X]\rightarrow B$ tel que $\rho (X) = U^p-U$. Soit $\sigma$ l’automorphisme de cette K[X]-algèbre tel que $\sigma (U) = U + 1$ et soit S la K[X]-algèbre quotient de $B[V]_{\sigma}$ (VIII, p. 10) par l’idéal bilatère $B(V^p-\theta )$. Soit L une K[X]-algèbre qui est un corps commutatif. Si l’équation $y^p-y= X$ a une solution dans L, prouver que $S_{(L)}$ est une algèbre de matrices sur L (soit $L'= L[t]/(t^p-\theta )$; considérer l’homomorphisme $S\rightarrow$ End$_L(L')$ qui applique V sur la multiplication $m_t$ par $t$ et U sur $m_y-D$, où D est la L-dérivation de $L'$ telle que $D(t) =t.$) Dans le cas contraire, $S_{(L)}$ est une L-algèbre centrale et simple ; c’est une algèbre de matrices si et seulement si $\theta$ est la norme d’un élément de l’extension $L[Y]/(Y^p-Y-X)$ de L (appliquer l’exerc. 11).

En déduire que S est une K[X]-algèbre d’Azumaya et que sa classe dans Br(K[X]) ne provient pas de Br(K) (on prendra L = K(X)).