Bài tập 2, § 16

Cho $\varphi : H\rightarrow G$ là một đồng cấu nhóm, M là một $\mathbf{Z}$[G]-môđun, N là một $\mathbf{Z}$[H]-môđun, và $u: M\rightarrow N$ là một đồng cấu của các nhóm Abel. Ta nói rằng $\varphi$ và $u$ là tương thích nếu ta có $u(\varphi (h)x) =hu(x)$ với mọi $h\in H$ và $x\in M$.

a) Với $n\geqslant 0$, gọi $\varphi^n: H^n\rightarrow G^n$ là ánh xạ suy ra từ $\varphi$; nếu $\varphi$ và $u$ tương thích, thì đồng cấu $c\mapsto u\circ c\circ \varphi^n$ từ $C^n(G,M)$ đến $C^n(H,N)$ đưa $Z^n(G,M)$ vào $Z^n(H,N)$ và $B^n(G,M)$ vào $B^n(H,N)$ và do đó suy ra một đồng cấu $H^n(\varphi , u)$ từ $H^n(G,M)$ đến $H^n(H,N)$. b) Cho $\psi : K\rightarrow H$ là một đồng cấu nhóm khác, P là một$\mathbf{Z}$[K]-môđun, và $v: N\rightarrow P$ là một đồng cấu của các nhóm Abel. Nếu $\varphi$ và $u$ tương thích, và $\psi$ và $v$ cũng tương thích, thì ta có $H^n(\varphi \circ \psi , v\circ u) = H^n(\psi , v)\circ H^n(\varphi , u)$.

c) Xét một biểu đồ giao hoán

0 // $M'$ // M // $M''$ // 0

$u'uu''$

0 // $N'$ // N // $N''$ // 0 ,

trong đó hàng thứ nhất (tương ứng, thứ hai) là một dãy khớp các $\mathbf{Z}$[G]-môđun (tương ứng, của các $\mathbf{Z}$[H]-môđun) và trong đó $u', u, u''$ tương thích với $\varphi$. Chứng minh rằng biểu đồ

$\cdots$ // $H_n(G,M')$ // $H_n(G,M)$ // $H_n(G,M'')$ // $H_{n+1}(G,M')$ /$/\cdots$

$H^n(\varphi ,u')H^n(\varphi ,u)H^n(\varphi ,u'')H^{n+1}(\varphi ,u)$

$\cdots$ // $H_n(H,N')$ // $H_n(H,N)$ // $H_n(H,N'')$ // $H_{n+1}(H,N')$ /$/\cdots$

(mà các hàng ngang của nó là các dãy khớp dài được định nghĩa trong Bài tập 1, c)) là giao hoán.

d) Ví dụ: Nếu H = G, thì ánh xạ $u$ tương thích với Id$_G$ nếu và chỉ nếu nó là $\mathbf{Z}$[G]-tuyến tính, và ta có $H^n$(Id$_G, u$) $= H^n(G, u)$. Nếu N bằng M được trang bị cấu trúc môđun $\mathbf{Z}$[G]-suy ra từ $\varphi$, thì các đồng cấu $\varphi$ và $1_M$ là tương thích; ta ký hiệu Res$^q: H^q(G,M)\rightarrow H^q(H,M)$ là đồng cấu $H^q(\varphi ,1_M)$ (“đồng cấu hạn chế”).

e) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G, và cho $M^H$ là nhóm con của M gồm các phần tử bất biến dưới tác động của H, được trang bị tác động của $G/H$ suy ra từ tác động của G bằng cách chuyển qua thương. Toàn cấu chính tắc $p: G\rightarrow$ $G/H$ và đơn ánh chính tắc $j: M^H\rightarrow M$ là tương thích; ta ký hiệu Inf$^q: H^q(G/H,M^H)\rightarrow H^q(G,M)$ là đồng cấu $H^q(p, j)$ (“đồng cấu lạm phát”). Chứng minh rằng dãy

là khớp. Nếu, hơn nữa, $H^1(H,M)$ bằng không, thì dãy

là khớp.