Exercice 2, § 16

Soient $\varphi : H\rightarrow G$ un homomorphisme de groupes, M un $\mathbf{Z}$[G]-module, N un $\mathbf{Z}[H]$-module et $u: M\rightarrow N$ un homomorphisme de groupes abéliens. On dit que $\varphi$ et $u$ sont compatibles si l’on a $u(\varphi (h)x) =hu(x)$ quels que soient $h\in H, x\in M$.

a) Pour $n\geqslant 0$, soit $\varphi^n: H^n\rightarrow G^n$ l’application déduite de $\varphi$; si $\varphi$ et $u$ sont compatibles, l’homomorphisme $c\rightarrow u\circ c\circ \varphi^n$ de $C^n(G,M)$ dans $C^n(H,N)$ applique $Z^n(G,M)$ dans $Z^n(H,N)$ et $B^n(G,M)$ dans $B^n(H,N)$, et induit donc un homomorphisme $H^n(\varphi , u)$ de $H^n(G,M)$ dans $H^n(H,N)$.

b) Soient $\psi : K \to H$ un autre homomorphisme de groupes, $P$ un $\mathbf{Z}[K]$-module, $v : N \to P$ un homomorphisme de groupes abéliens. Si $\varphi$ et $u$ d’une part, $\psi$ et $v$ d’autre part sont compatibles, on a $H^n(\varphi \circ \psi, v \circ u) = H^n(\psi, v) \circ H^n(\varphi, u)$.

c) On considère un diagramme commutatif

où la première ligne (resp. la seconde) est une suite exacte de $\mathbf{Z}[G]$-modules (resp. de $\mathbf{Z}[H]$-modules), et où $u', u, u''$ sont compatibles avec $\varphi$. Démontrer que le diagramme

(dont les lignes horizontales sont les suites exactes longues définies dans l’exerc. 1 c)) est commutatif.

d) Exemples : si $H = G$, l’application $u$ est compatible avec $\mathrm{Id}_G$ si et seulement si elle est $\mathbf{Z}[G]$-linéaire, et l’on a $H^n(\mathrm{Id}_G, u) = H^n(G, u)$. Si $N$ est égal à $M$ muni de la structure de $\mathbf{Z}[G]$-module déduite de $\varphi$, les homomorphismes $\varphi$ et $1_M$ sont compatibles ; on note $\mathrm{Res}^q : H^q(G, M) \to H^q(H, M)$ l’homomorphisme $H^q(\varphi, 1_M)$ (« homomorphisme de restriction »).

e) Soit $H$ un sous-groupe distingué de $G$, et soit $M^H$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments invariants par $H$, muni de l’action de $G/H$ déduite de celle de $G$ par passage au quotient. La surjection canonique $p : G \to G/H$ et l’injection canonique $j : M^H \to M$ sont compatibles ; on note $\mathrm{Inf}^q : H^q(G/H, M^H) \to H^q(G, M)$ l’homomorphisme $H^q(p, j)$ (« homomorphisme d’inflation »). Prouver que la suite

est exacte. Si de plus $H^1(H, M)$ est nul, la suite

est exacte.