Bài tập 3, § 16

Cho G là một nhóm và M là một $\mathbf{Z}$[G]-môđun. Cho G tác động lên $C^1(G,M)$ bằng cách gửi $(g, f)\in G\times C^1(G,M)$ tới hàm $h\mapsto gf(g^{-1}h)$ trên G. Nhắc lại (I, §6, p. 149, Bài tập 8) rằng một G-trung bình trên M là một ánh xạ tuyến tính $\mathbf{Z}$[G]-$\mu: C^1(G,M)\rightarrow M$ thỏa mãn $\mu(c_x) =x$, trong đó $c_x$ ký hiệu hàm hằng với giá trị $x\in M$.

a) Chứng minh rằng nếu M thừa nhận một G-trung bình, thì $H^n(G,M)$ là không đối với $n\geqslant 1$. (Với $q\geqslant 1$, cho $h^q: C^q(G,M)\rightarrow C^{q-1}(G,M)$ là đồng cấu sau đây: với $g_1, . . . , g_{q-1}$ trong G và $c\in C^q(G,M)$, định nghĩa $h^q(c)(g_1, . . . , g_{q-1})$ là ảnh bởi $\mu$ của hàm $g\mapsto c(g_1, . . . , g_{q-1},(g_1\cdots g_{q-1})^{-1}g)$. Chứng minh đẳng thức $h^{q+1}\circ d^q+d^{q-1}\circ h^q=$ $1_{C^q(G,M)}.$)

b) Cho A là một nhóm Abel; ký hiệu $\mathscr{F}(G,A)$ là nhóm các ánh xạ từ G đến A, được trang bị tác động của G được xác định bởi $^gf(h) =f(hg)$ với $g, h$ trong G và $f$ trong $\mathscr{F}(G,A)$. Với mọi ánh xạ $c$ từ G đến $\mathscr{F}(G,A)$, ký hiệu $\mu(c)$ là ánh xạ $g\mapsto c(g^{-1})(g)$ từ G đến A. Hãy chứng minh rằng $\mu$ là một G-trung bình trên $\mathscr{F}(G,A)$; do đó ta có $H^q(G,\mathscr{F}(G,A)) = 0$ với $q\geqslant 1$.

c) Cho $j: M\rightarrow \mathscr{F}(G,M)$ là ánh xạ gửi một phần tử $m$ của M đến hàm $g\mapsto gm$, và cho $M'$ là đối hạt nhân của nó. Chứng minh rằng $j$ là đơn ánh và $\mathbf{Z}[G]$-tuyến tính. Suy ra đồng cấu $\partial^q: H^q(G,M')\rightarrow H^{q+1}(G,M)$ là song ánh với $q\geqslant 1$.

d) Cho L là một mở rộng Galois hữu hạn của trường giao hoán K và G là nhóm Galois của nó. Suy ra từ b) và định lý cơ sở chuẩn (V, §10, No. 9, p. 73) rằng các nhóm $H^n(G,L)$ đều bằng không với $n\geqslant 1$.