Exercice 3, § 16

Soient $G$ un groupe, $M$ un $\mathbf{Z}[G]$-module. On fait opérer $G$ sur $C^1(G, M)$ en associant à $(g, f) \in G \times C^1(G, M)$ la fonction $h \mapsto gf(g^{-1}h)$ sur $G$. On rappelle (I, p. 136, exerc. 8) qu’une $G$-moyenne sur $M$ est une application $\mathbf{Z}[G]$-linéaire $\mu : C^1(G, M) \to M$ satisfaisant à $\mu(c_x) = x$, où $c_x$ désigne la fonction constante de valeur $x \in M$.

a) Si $M$ admet une $G$-moyenne, prouver que $H^n(G, M)$ est nul pour $n \geqslant 1$ (pour $q \geqslant 1$, soit $h^q : C^q(G, M) \to C^{q-1}(G, M)$ l’homomorphisme défini de la façon suivante : pour $g_1, . . . , g_{q-1}$ dans G et $c\in C^q(G,M),h^q(c)(g_1, . . . , g_{q-1})$ est l’image par $\mu$ de la fonction $g\rightarrow c(g_1, . . . , g_{q-1},(g_1. . . g_{q-1})^{-1}g)$. Démontrer l’égalité $h^{q+1}\circ d^q+d^{q-1}\circ h^q= 1_{C^q(G,M)}$).

b) Soit A un groupe commutatif ; on note $\mathscr{F}(G,A)$ le groupe des applications de G dans A, muni de l’action de G définie par $^gf(h) =f(hg)$ pour $g, h$ dans G et $f$ dans $\mathscr{F}(G,A)$. Pour toute application $c$ de G dans $\mathscr{F}(G,A)$, on note $\mu (c)$ l’application $g\rightarrow c(g^{-1})(g)$ de G dans A. Montrer que $\mu$ est une G-moyenne sur $\mathscr{F}(G,A)$; on a donc $H^q(G,\mathscr{F}(G,A)) = 0$ pour $q\geqslant 1$.

c) Soit $j: M\rightarrow \mathscr{F}(G,M)$ l’application qui associe à un élément $m$ de M la fonction $g\rightarrow gm$, et soit $M'$ son conoyau. Prouver que $j$ est injective et $\mathbf{Z}$[G]-linéaire. En déduire que l’homomorphisme $\partial^q: H^q(G,M')\rightarrow H^{q+1}(G,M)$ est bijectif pour $q\geqslant 1$.

d) Soient L une extension galoisienne finie du corps commutatif K, G son groupe de Galois. Déduire de b) et du théorème de la base normale (V, p. 70) que les groupes $H^n(G,L)$ sont nuls pour $n\geqslant 1$.