Bài tập 4, § 16

Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Với mọi $\mathbf{Z}$[H]-môđun N, ký hiệu $\widetilde{N}$ là nhóm Hom$_{\mathbf{Z}[H]}(\mathbf{Z}[G],N)$ được trang bị một cấu trúc môđun $\mathbf{Z}$[G] suy ra từ cấu trúc môđun phải $\mathbf{Z}$[G] trên $\mathbf{Z}[G]$.

a) Chứng minh rằng $\widetilde{N}$ có thể được đồng nhất với môđun con $\mathbf{Z}$[G] của $\mathscr{F}(G,N)$ (Bài tập 3) gồm các ánh xạ $f$ sao cho $f(hg) =hf(g)$ với mọi $h\in H$ và $g\in G$. Nếu A là một nhóm Abel, thì $\mathbf{Z}$[G]-môđun $\mathscr{F}\widetilde{(H},A)$ đẳng cấu chính tắc với $\mathscr{F}(G,A)$.

b) Cho $0\rightarrow N'\rightarrow^iN\overset{p}{\rightarrow}N''\rightarrow 0$ là một dãy khớp các $\mathbf{Z}$[H]-môđun; dãy

$'$ Hom(1$,i$) Hom(1$,p$)$''$

là khớp (lưu ý rằng $\mathbf{Z}$[H]-môđun $\mathbf{Z}[G]$ là tự do).

c) Cho $u_N:\widetilde{N}\rightarrow N$ là ánh xạ $f\mapsto f(1)$; nó tương thích với đơn ánh chính tắc $i: H\rightarrow G$ (Bài tập 2). Chứng minh rằng đồng cấu

là song ánh với mọi $q\geqslant 0$ (trước hết xét trường hợp $q= 0$ rồi suy luận quy nạp theo $q$ dùng điều trên; Bài tập 3, c); và Bài tập 2, c)).

d) Giả sử rằng H có chỉ số hữu hạn $n$ trong G. Cho M là một $\mathbf{Z}$[G]-môđun, mà ta xem như một $\mathbf{Z}$[H]-môđun bởi hạn chế vô hướng. Cho $f\in \widetilde{M}$; phần tử $g^{-1}f(g)$ chỉ phụ thuộc vào lớp phải $Hg$ của $g$. Đặt $\pi (f) =\sum_{Hg\in H\backslash G}g^{-1}f(g)$. Chứng minh rằng $\pi$ là một đồng cấu tuyến tính $\mathbf{Z}$[G] từ $\widetilde{M}$ đến M. Với mọi số nguyên $q\geqslant 0$, ký hiệu Cor$^q: H^q(H,M)\rightarrow H^q(G,M)$ là đồng cấu $H^q(\pi )\circ H^q(i, u_M)^{-1}$ (“đồng cấu đối hạn chế”).

e) Chứng minh rằng tự đồng cấu Cor$^q\circ$ Res$^q$ của $H^q(G,M)$ là phép nhân với $n$ (trước hết xét trường hợp $q= 0$ rồi sau đó xét trường hợp tổng quát như trong chứng minh của c)). f ) Giả sử G là hữu hạn; chứng minh rằng với mọi $\mathbf{Z}$[G]-môđun M và mọi số nguyên $q\geqslant 1$, nhóm $H^q(G,M)$ bị triệt tiêu bởi cấp của G.