Exercice 4, § 16

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G. Pour tout $\mathbf{Z}$[H]-module N, on note $\widetilde{N}$ le groupe Hom$_{\mathbf{Z}[H]}(\mathbf{Z}[G],N)$, muni de la structure de $\mathbf{Z}$[G]-module déduite de la structure de $\mathbf{Z}$[G]-module à droite de $\mathbf{Z}[G]$.

a) Démontrer que $\widetilde{N}$ s’identifie au sous-$\mathbf{Z}$[G]-module de $\mathscr{F}(G,N)$ (exerc. 3) formé des applications $f$ telles que $f(hg) =hf(g)$ quels que soient $h\in H,g\in G$. Si A est un groupe commutatif, le $\mathbf{Z}$[G]-module $\mathscr{F}\widetilde{(H},A)$ est canoniquement isomorphe à $\mathscr{F}(G,A)$.

b) Soit $0\rightarrow N'\rightarrow^iN\rightarrow^pN''\rightarrow 0$ une suite exacte de $\mathbf{Z}$[H]-modules ; la suite

est exacte (observer que le $\mathbf{Z}$[H]-module $\mathbf{Z}[G]$ est libre).

c) Soit $u_N:\widetilde{N}\rightarrow N$ l’application $f\rightarrow f(1)$; elle est compatible avec l’injection canonique $i: H\rightarrow G$ (exerc. 2). Prouver que l’homomorphisme

est bijectif pour tout $q\geqslant 0$ (traiter d’abord le cas $q= 0$, puis raisonner par récurrence sur $q$ en utilisant ce qui précède, l’exerc. 3 c) et l’exerc. 2 c)).

d) On suppose que H est d’indice fini $n$ dans G. Soit M un$\mathbf{Z}$[G]-module, que l’on considère comme un $\mathbf{Z}$[H]-module par restriction des scalaires. Soit $f\in \widetilde{M}$; l’élément $g^{-1}f(g)$ ne dépend que de la classe à droite $Hg$ de $g$. On pose $\pi (f) =\sum_{Hg\in H\backslash G}g^{-1}f(g)$. Prouver que $\pi$ est un homomorphisme $\mathbf{Z}$[G]-linéaire de $\widetilde{M}$ dans M. Pour tout entier $q\geqslant 0$, on note Cor$^q: H^q(H,M)\rightarrow H^q(G,M)$ l’homomorphisme $H^q(\pi )\circ H^q(i, u_M)^{-1}$ (« homomorphisme de corestriction »).

e) Prouver que l’endomorphisme Cor$^q\circ$ Res$^q$ de $H^q(G,M)$ est la multiplication par $n$ (traiter d’abord le cas $q= 0$, puis en déduire le cas général comme dans la démonstration de c)).

f ) On suppose G fini ; prouver que pour tout $\mathbf{Z}[\mathbf{G}$]-module M et tout entier $q\geqslant 1$, le groupe $H^q(G,M)$ est annulé par l’ordre de G.