Bài tập 6, § 16

Cho L là một mở rộng Galois hữu hạn của trường giao hoán K, với nhóm Galois G. Cho V và $V'$ là các không gian vectơ trên K và $w$ (tương ứng $w'$) là một tenxơ kiểu $(p, q)$ trên V (tương ứng trên $V'$). Một L-đẳng cấu từ $(V, w)$ đến $(V', w')$ là một đẳng cấu L-tuyến tính $u: V_{(L)}\rightarrow V'_{(L)}$ sao cho $u^{\otimes p}\otimes (^tu^{-1})^{\otimes q}$ đưa ảnh của $w$ tới ảnh của $w'$. Ta ký hiệu Aut$_L(V, w)$ là nhóm các L-tự đẳng cấu của $(V, w)$, trên đó G tác động bởi $^{\sigma}\varphi = (1_V\otimes \sigma )\circ \varphi \circ (1_V\otimes \sigma )^{-1}$.

a) Cho $u$ là một đẳng cấu L từ $(V, w)$ đến $(V', w')$ và $\sigma$ là một phần tử của G; ánh xạ $^{\sigma}u= (1_{V'}\otimes \sigma )\circ u\circ (1_V\otimes \sigma )^{-1}$ là một đẳng cấu L từ $(V, w)$ đến $(V', w')$, do đó $c(\sigma ) =u^{-1}\circ^{\sigma}u$ là một phần tử của Aut$_L(V, w)$. Chứng minh rằng ánh xạ $c: G\rightarrow$ Aut$_L(V, w)$ thuộc $Z^1(G$, Aut$_L(V, w))$ và rằng lớp của nó $\theta (V', w')$ trong $H^1(G$, Aut$_L(V, w))$ không phụ thuộc vào lựa chọn của $u$.

b) Chứng minh rằng ánh xạ $(V', t')\mapsto \theta (V', t')$ xác định một song ánh từ tập các lớp đẳng cấu K của các cặp $(V', w')$ L-đẳng cấu với $(V, w)$ đến tập $H^1(G$, Aut$_L(V, w))$. (Cho một phần tử $c$ của $Z^1(G$, Aut$_L(V, w)$, suy ra từ Bài tập 5, d) một L-tự đẳng cấu $f$ của $V_{(L)}$ sao cho $c(\sigma ) =f^{-1}\circ^{\sigma}f$. Chứng minh rằng ảnh $w'$ của $w$ bởi tự đẳng cấu suy ra từ $f$ là hữu tỉ trên K, và xét cặp $(V, w').)$

$*$c) Ví dụ: Tập hợp $H^1(G,\mathbf{S}\mathbf{p}_{2n}(L))$ chỉ có một phần tử. Nếu Q là một dạng toàn phương trên K, thì tập hợp $H^1(G,\mathbf{O}(Q_{(L)}))$ có thể được đồng nhất với tập hợp các lớp tương đương của các dạng toàn phương trên K tương đương với Q trên $L.*$

d) Cho A là một đại số trên K và M là nhóm tự đẳng cấu của đại số trên L $A_{(L)}$, được trang bị tác động của G đã được định nghĩa ở trên. Phép dựng ở b) xác định một song ánh từ tập hợp các lớp đẳng cấu của các cặp $(B, u)$, trong đó B là một đại số trên K và $u$ là một đẳng cấu từ $B_{(L)}$ đến $A_{(L)}$, đến tập hợp $Z^1(G,M)$. Song ánh ngược gửi một phần tử $c$ của $Z^1(G,M)$ đến đại số con trên K của $A_{(L)}$ gồm các phần tử $a$ thỏa mãn $c(\sigma )(\sigma (a)) =a$ với mọi $\sigma \in G$.